Die Einerziffer der Summe
1 + 2 + 3 + ... + 2006 + 2007 + 2008 lautet: 6
Erklärung:
Die Summe 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 ist gleich 55, hat also die Einerziffer 5. Man kann die weiteren Summanden ebenfalls zu Zehnergruppen zusammenfassen:
11 + 12 + 13 +... + 18 + 19 + 20, 21 + 22 + 23 +... + 28 + 29 + 30 bis 1991 + 1992 + 1993 +... + 1998 + 1999 + 2000.
Man erhält 200 Teilsummen, von denen jede die Einerziffer 5 besitzt. Die Summe 1 + 2 + 3 +... + 1998 + 1999 + 2000 muss deshalb mit der Einerziffer 0 enden. Jetzt braucht man nur noch die Einerziffer der restlichen Summanden 2001 bis 2008 zu beachten. Da 1 + 2 + 3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36, ist 6 die gesuchte Einerziffer.
Eleganter ist es, die Summe 1 + 2 + 3 + ... + 2006 + 2007 + 2008 nach einer Methode auszurechnen, die schon der berühmte deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauß als Schüler in der Volksschule für eine ähnliche Aufgabe benutzte:
Man bildet aus den 2008 Zahlen von 1 bis 2008 Paare mit der Summe 2009: 1 + 2008, 2 + 2007, 3 + 2006, usw. Da es 1004 dieser Paare gibt, beträgt die Gesamtsumme aller 2008 Zahlen 1004 · 2009 = 2 017 036 mit der Einerziffer 6.
